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2013年乌鲁木齐高考“三模”文科数学试题参考答案及评分标准
2013-04-23
2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选 项
D
A
D
D
B
C
C
C
B
C
1.选D【解析】∵ ,∴ , .
2.选A【解析】依题意有 , 即 ,∴ .
3.选D【解析】依题意有 ,对任意 都成立,∴
,或 ,即 ,又 ,故 .
4.选C【解析】实数 满足条件 ,作出其可行域,可知当且仅当 时, .
5.选B【解析】将这 门考试分别记为 ,这 天分别记为 ,则不同的方案有
, ,
, ,
,共 种情形,这 门考试被安排在连续两天的方案有 , 种情 形,∴ 门考试被安排在连续两天的概率为 . 
6.选D【解析】由
∴ .
7.选B【解析】对①,当 , 不存在;对②任意的 ,存在唯一的 ( )
成立;对③,当 , 不存在;对④,当 , 不存在;
 
 
8.选C【解析】此几何体如图所示,
∴ .
9.选C【解析】设 ,由此框图得
.由 .
10.选C【解析】∵由 及正弦定理得 ,又 ,所以
,∴ .
11.选B【解析】依题意 三点不可能在同一直线上,
∴ ,又由 得 ,于是 ,记 .
可知 ,且
,无最大值,故 的取值范围为 .
12.选C【解析】∵ ,由零点存在条件,可知在区间
分别存在零点,记为 ,不妨设 ,可以得到 ,
又由 , ,
故 , .
两式相减,得 ,
即 ,故 ,所以 .
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.填 【解析】∵ .
14.填 【解析】当 时, ;当 时,由 及 ,得 易知, ,∴ 是以 为首项,以 为公比的等比数列,故 .
15.填 或 【解析】设 ,根据题意有 ,化简后得 或 (无解),解得 或 ,
∴点 的坐标为 或 .
16.填 【解析】设此正方体的棱长为 ,则球 的直径为 ,半径为 ,与此正方体的表面及球 的球面都相切的最大的球的直径为 ,半径为 ,故所有与此正方体的表面及球 的球面都相切的最大的球的体积之和与球 的体积之比为 .
三、解答题(共6小题,共70分)
17.(Ⅰ)当 时,∵ ,∴
关于 对称,又 ,
∴ ,∴
∵ ,∴ ,
∴ ;      …6分
(Ⅱ)∵ ,∴
关于 对称,又 ,
∴ ,∴
∵ ,∴
即 ,故 .                       …12分
18.(Ⅰ)由 为菱形, ,知 为正三角形.
∵ 是 的中点,∴ , ∥ ,则 .
又 , ,∴ 平面 ,
∴ ;                          …6分
(Ⅱ)∵ 是 的中点,设 是 的中点,
则 ∥ ,故 底面 ,
∴ .                       …12分
19.(Ⅰ)设第 组的频率为 ,则由频率分布直方图知
∴这个人的分数在 之间的概率约是 ;                  …4分
(Ⅱ)从这 名学生的平均分数为
;            …8分
(Ⅲ)从第一组到第四组,频率为 ,而
将第五组 ,按以下比例分割:
∴中位数为 ,∴应将分数线定为 分.               …12分
20.(Ⅰ)由 得  不妨设 ,左焦点为 .
,由直线 过左焦点 ,且倾斜角为 ,可得 ,
所求椭圆 的方程为 ;                                 …5分
(Ⅱ)设 , .
(ⅰ)当 时,有 轴,此时 , ,
,又 ,∴ ,
,∴ ,于是 .
∴ ,故 .
(ⅱ)当 时,设直线 的斜率为 ,则直线 的方程为 ,即 ,记 ,直线 的方程为 ,
点 、 满足 .
∴ , .
∴ ,
①若 , 中有一个不存在时,不妨设 不存在,即 轴,此时 .
∵ ,∴ , , 共线,可知 ,∴ ∥ 轴,故 .
②若 , 都存在.
  ,将 及 ,代入此式,化简后得 ,故 .
综上所述, .                                                    …12分
20.(Ⅰ) .
(1)当 时, .所以 在 单调递增,在 单调递减. 
当 , .
(2)当 时,令 ,得 , , 与 的情况如下:

 
 
 
 
 
故 的单调减区间是 , ;单调增区间是 .  
(3)当 时, 与 的情况如下:

        
 
 
 
所以 的单调增区间是 , ;单调减区间是 .
(Ⅱ)(1)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 单调递增不存在最大值,
∴不合题意.
(2)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 单调递增,在 单调递减,所以  在 上存在最大值 .下面研究最小值:
∵ 在 单调递增,∴ 在 存在最小值 ;∵ 在  单调递减,∴ 在 不存在最小值。所以,要使 在 上存在最小值,只可能是 .
计算整理 .
要使 在 上存在最小值,需且只需 , .
∵ ,则问题转化为 , 恒成立.
设 ,则需且只需 ,或 .
可得: .
(3)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 单调递减,在 单调递增,所以 在 上存在最小值 .下面研究最大值.
∵ 在 单调递减,∴ 在 存在最大值 ;∵ 在 单调递增,∴ 在 不存在最大值。所以,要使 在 上存在最大值,只可能是 .
计算整理 .
要使 在 上存在最大值,需且只需 , .
∵ ,则问题转化为 , 恒成立.
设 ,则需且只需 ,或 .可得: .
综上, 的取值范围是 .                                    …12分
 
 
22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
(Ⅰ)设 ,则 ,由切割线定理 ,
即 , ,∴ ,
在 中, ,故
而 ,即 ,
∴ ,即 ;                                            …5分
(Ⅱ)设 交 于 ,在 中,∵ ∥ ,∴
又 ,∴ ,∴
∵ ,∴ ∽ ,
∵ ,∴ .                                       …10分
 
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)由 ( 为参数)及 得 ,消去 ,得 ,即为曲线 的普通方程;                                           …5分
(Ⅱ)以直角坐标系 的原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,即 ,
不妨设 ,代入 的极坐标方程,有
, ,
设点 到直线 的距离为 ,则
(定值).      …10分
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ) ;         …5分
(Ⅱ)由 ,
(ⅰ)若 ,∵ ,有 ,不等式恒成立,此时不等式的解集为 ;
(ⅱ)若 ,不等式等价于
或 或
解得 ,或 .
综上,当 时,解集为 ;当 时,解集为 .…10分
 
以上各题的其它解法,限于篇幅从略,请相应评分
 
 
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